米田の補題の証明 ③~④
前提条件などは↑を参照
次に、
③ $ \hat{\tilde{}} が恒等写像であることを示す
④ $ \tilde{\hat{}} が恒等写像であることを示す
③
$ x\in X(A)について、
$ \hat{\tilde{x}}=\tilde{x}_A(1_A)
$ =(X1_A)(x)
$ =1_{X(A)}(x)
∵ $ Xの射$ X1_A:X(A)\to X(A)は、$ X(A)の恒等射$ 1_{X(A)}に等しい
$ =x
∵恒等射の行き先は自分自身
④
目的
自然変換$ \alpha:H_A\to Xについて、$ \tilde{\hat\alpha}=\alphaを示す
つまりある自然変換 = ある自然変換を示そうとしている
自然変換というのは射の族だったので、その1つの射に注目して、等しさを示せばいい
つまりある射 = ある射を示すことにする
つまり$ \forall B\in\mathscr{A}成分に着目して、$ (\tilde{\hat\alpha})_B=\alpha_Bを示す
この射はどこからどこへの射かと言うと、
$ H_A(B)=\mathscr{A}(B,A)から、$ X(B)への射である
ちなみに$ \mathscr{A}(B,A)や$ X(B)の元もまた射なので、「「射の集合」から「射の集合」への射」の話をしようとしている
が、このメタさそこまで意識する必要はないmrsekut.icon
この元の1つを$ fとして示す
まとめるとこんな感じ
ある自然変換 = ある自然変換を示したい
つまり、ある射の族 = ある射の族を示したい
そこで1つに注目し、ある射 = ある射を示す
そこで、任意の元$ fを取ってきてある射(f) = ある射(f)であることを示せばいい
ややこいが別に難しい話ではないmrsekut.icon
証明
自然変換$ \alpha:H_A\to Xについて、$ \tilde{\hat\alpha}=\alphaを示す
自然変換同士の等しさを示すために、各$ B\in\mathscr{A}について$ (\tilde{\hat\alpha})_B=\alpha_Bを示す
この関数同士の等しさを示すということは、定義域の各元について同じ行き先へ行くということなので、
$ \forall B\in\mathscr{A}と、$ \mathscr{A}の$ f:B\to Aについて
$ (\tilde{\hat\alpha})_B(f)=\alpha_B(f)を示す
$ (\tilde{\hat\alpha})_B(f)=(Xf)(\hat\alpha)
$ =(Xf)(\alpha_A(1_A))
$ =\alpha_B(f)
これは以下より言える
自然変換$ \alphaの自然性より下図が可換になる
https://gyazo.com/10e5867e1f847d93d73e4469565308d8
左上で$ 1_Aから出発した2経路の終端は等しくなるので、$ (Xf)(\alpha_A(1_A))=\alpha_B(f)
①~④の総括
以上より、任意の$ A\in\mathscr{A} と$ X\in[\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set}] について、
$ [\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set}](H_A, X) と$ X(A) の間に全単射を定義できた